מבחן מחצית י'- תשס"ז-מועד א' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים משך המבחן : חלק א' - שעתיים עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות - נתונה הפונקציה: פרק : שאלון 000 - פרמטר( הוכח כי f(x) m ( f(x)= m x - mx+ ציר ה- x נתונה הפונקציה: הפונקציה x= - m x - m+ x+- m m x - mx+ g( x) נמצא כולו מתחת לציר ה- x? אינה חותכת את g עבור אילו ערכי m, גרף - a סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת, אשר סכומה הוא 5,7 סכומם של שני האיברים הראשונים בסדרה הוא 5,777 והאיבר השישי בה, קטן מ- 7 מצא את האיבר השלישי בסדרה מגדירים סדרה חדשה ע"י הנוסחה: ( סדרת a b = a היא הסדרה הנתונה בסעיף א'( a b חשב את היחס בין סכום הסדרה, לסכום הסדרה עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות 3-4 9 נתון מעגל O קוטר ו- מיתר במעגל הנתון נקודת מפגש ו- היא הנקודה M O M M= O +OM הוכח: O- OM M S OM 6, O O, נתון כי : חשב את סמ"ר M 5 M S M - 93 -
חוברת מבחני מחצית י' 0 יבואן מכוניות ערך סקר בקרב,777 בעלי רכ,077 מהנשאלים בסקר היו נשואים והשאר רווקים,77 מהנשאלים העדיפו מכונית משפחתית והשאר מכונית ספורטיבית לתדהמת עורכי הסקר הסתבר כי לא קיים קשר סטטיסטי בין מצבו המשפחתי של הנשאל לבין העדפותיו בנושא סוג המכונית בנה טבלת פרופורציה דו-ממדית המשקפת את הנתונים סמן מאורעות בטבלה: - קבוצת הנשאלים הנשואים חשב את השכיחויות הבאות והסבר אותן מילולית - קבוצת הנשאלים המעדיפים מכונית משפחתית u w v N P ג יבואן המכוניות ביקש כי יעשו סקר נוסף בין הרווקים בלבד, לראות מי בסופו של דבר קנה מכונית לפי העדפותיו ומי לא קנה את המכונית שהעדיף התבררו הנתונים הבאים : 37% רווקים קנו את המכונית המועדפת עליהם היחס בין פרופורציית הרווקים המעדיפים מכונית משפחתית מתוך הרווקים שקנו המכונית המועדפת עליהם, לבין פרופורציית הרווקים המעדיפים מכונית משפחתית מתוך הרווקים שלא קנו את המכונית המועדפת עליהם הוא 0 9 7 מצא את פרופורציית הרווקים שקנו את המכונית המועדפת עליהם מתוך הרווקים שהעדיפו מכונית משפחתית עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 0-0 בתיבה ' ' ' ' ΑΑ' = w, Α = v, ΑΒ = u נתון : הווקטור ג v = 8, u = x=u+tv - w 4 x חשב את פרק : שאלון 000 יוצר זוויות שוות עם הווקטורים ו - t הוכח כי אם x אז: חשב את הזווית שבין הווקטור v = w לווקטור x y המשיק לפונקציה 3 x +x - x+ f x = x+ עם ציר, y חותך את ציר ה- x בנקודה הישר אנך לציר ה- x חשב את השטח המוגבל ע"י וחותך את f x בנקודה בנקודת החיתוך שלה f x והישרים ו- 6-07 - x
5 חוברת מבחני מחצית י' המשוואות של שניים מגבהי משולש הן: המשולש נמצא בנקודה ג x+3y = 6 x+ y = ו- (5, 3) מצא את שני הקודקודים האחרים של המשולש הוכח כי אחד מהגבהים הנתונים הוא גם חוצה זווית חשב את גודל הזווית הנחצית משך המבחן שעה ושלושת רבעי עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 8-9 פרק 3: שאלון 000 הוכח באינדוקציה )או בכל בדרך אחרת( כי לכל טבעי מתקיים: אחד מקודקודי 5 75 35 ( ) (65)5 ( ) 5 3 שלושה ספורטאים יצאו לדרך מאותו המקום ולאותו כיוון הספורטאי הראשון הלך במהירות של 6 קמ"ש רבע שעה אחריו, יצא הספורטאי השני במהירות קמ"ש חמש דקות מאוחר יותר יצא גם הספורטאי השלישי הספורטאי השלישי השיג את הספורטאי השני ולאחר 7 דקות נוספות )מרגע שחלף על פני הספורטאי השני( השיג גם את הראשון מצא את מהירות הספורטאי השלישי עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 0- k R O במשולש שווה שוקיים ( זווית הבסיס של המשולש היא נסמן : 7 ג היא נקודת החיתוך בין המעגל ל- O k הבע את רדיוס המעגל באמצעות הבע את ו- k באמצעות ו- k ) חסום מעגל O נתון כי, O k הבע באמצעות k את רדיוס המעגל החוסם את משולש, ניתן גם להסביר את התשובה באופן גיאומטרי הנקודה והרדיוס שלו הוא נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה 0 גודל זווית 30 R 30 R ניצב ל- ו- ניצב ל- ( ראה ציור ( מצא את השטח המקסימלי של המרובע הנוצר באופן זה מצא את השטח המינימלי של המרובע הנוצר באופן זה - 0 -
הן נקודות הקיצון של הפונקציה (x )f הנקודות ו- x נתונה הפונקציה x 3 לציר ה- x )נסמן ב- את נקודת הקיצון המקסימלית, וב- את נקודת הקיצון המינימלית( מהנקודה נעביר ישר המקביל לציר ה- y, ומהנקודה נעביר ישר המקביל ו- שני הישרים נחתכים בנקודה מצא את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה והישרים בהצלחה! פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ז מועד א' ) 0385 N( ) 730 7 m 3 957 הוכחה 0 סמ"ר 055 065 0385 045 035 035 03 07 הוכחה ג 0 ג k 0 533 0 45 t 4 3l5 7) (0,) ( 5, הוכחה הוכחה ג k(cos ) ta ( cos ) 7 או קמ"ש k cos R cos ג 3R 8 R 4 77 9 0 7 6 5 3 7-0 -
מבחן מחצית י'- תשס"ז-מועד ב' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים משך המבחן : חלק א' - שעתיים עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות - פרק : שאלון 000 m + f(x) = mx + x + m - 4 m נתונה הפרבולה :? x m עבור אילו ערכי הפרבולה חיובית לכל x m עבור אילו ערכי לפרבולה שתי נקודות חיתוך עם ציר מימין לראשית הצירים? סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה הבא: a מגדירים סדרה על ידי + = a + + b b = a + - נתון כי הסדרה מצא את הנוסחה לאיבר הכללי של הסדרה הינה סדרה הנדסית שמנתה a b מצא את הנוסחה לסכום האיברים הראשונים של הסדרה b, b, a ג מצא את עבורו שלושת האיברים הבאים מהווים סדרה הנדסית : עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות 3-4 F ו- G הן על צלעות המקבילית מקבילית, E הנקודות 9 הנקודה O היא מפגש הישרים ו- EF E O G F נתון: הוכח: EF, GO ג S OG OE G OF = S OF OG - 09 -
מומחה למתכות מזהה את החומר ממנו עשוי תכשיט ע"י התבוננות בלבד הוצגו לפני המומחה 7 טבעות טבעות עשויות זהב טהור ו- מזויפות מתוך הטבעות שעשויות זהב טהור המומחה אמר על 7 טבעות שהן שעשויות זהב טהור מתוך טבעות מזויפות המומחה אמר על טבעת אחת שהיא עשויה זהב טהור מהי הדיאגנוסטיות של קבוצת הטבעות שהמומחה אמר עליהן שהן עשויות זהב טהור? ידוע שההסתברות כי טבעת שנבחרה באקראי עשויה זהב טהור אם המומחה אמר שהיא כזו היא 67% מהי פרופורציית הטבעות העשויות זהב טהור? )שימו לב דיאגנוסטיות קבוצת הטבעות שהמומחה אמר עליהן שהן עשויות זהב טהור, נשמרת( 0 F עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 0-0 7 נתונה קובייה פרק : שאלון 000 הנקודות E ו- F הן בהתאמה אמצעי המקצועות ו-' ' EN =tef הנקודה N מקיימת v w u N E נסמן: ג ד ' = w, = v, = u הבע באמצעות הבע באמצעות חשב את ערך חשב את N' ' את t ו- w, v, u N ו- cos N ' את t N' עבורו t המינימלית היא מינימלית ( a 0) g x = b+e, f x = a - e -x -x 6 נתונות הפונקציות: y האסימפטוטה האופקית של f x היא האסימפטוטה האופקית של g x היא ציר ה- x ג ד ה מצא את הפרמטרים a ו- b מצא את נקודת הקיצון של f x מצא את נקודת החיתוך בין שני הגרפים שרטט סקיצה של שני הגרפים באותה במערכת צירים חשב את השטח המוגבל על-ידי שני הגרפים של הפונקציות ועל-ידי ציר ה- y - 00 -
5 חוברת מבחני מחצית י' (, ) קודקודי הבסיס של טרפז שווה שוקיים, נמצאים בנקודות: (6,0) ו- (4,6) הבסיס נמצא על ישר שהמשכו עובר דרך הנקודה מצא את שני הקודקודים האחרים אם נתון ששטחו של הטרפז הוא 77 מצא את משוואת המעגל החוסם את הטרפז (,9) פרק 3: שאלון 000 משך המבחן שעה ושלושת רבעי עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 8-9 הוכח באמצעות אינדוקציה מתמטית כי לכל טבעי מתקיים: 3 3 3 3 3 3 המרחק בין אוניברסיטת בר-אילן לאוניברסיטת חיפה הוא 7 ק"מ בשעה בבוקר יוצא אברהם בהליכה מאוניברסיטת בר-אילן לכיוון אוניברסיטת חיפה בשעה 7 בבוקר יוצא בנימין בהליכה מאוניברסיטת חיפה לכיוון אוניברסיטת בר-אילן בנימין הולך במהירות הגדולה ב- קמ"ש מזו של אברהם באיזה שעה יפגשו שני הסטודנטים אם ידוע כי המפגש מתרחש בדיוק באמצע הדרך? 3 עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 0- R O 7 במשולש סכום אורכי הצלעות ו- הוא גודל קבוע k צלע משיקה למעגל O שרדיוסו R בנקודה קודקוד נמצא על המעגל מה צריך להיות היחס כדי ששטח המשולש יהיה מקסימלי? - 07 -
נתונה הפונקציה: 0 x בתחום : f x = cos x - six מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה מצא את תחומי העלייה ותחומי הירידה של הפונקציה מצא את נקודות הפיתול של הפונקציה מצא את התחומים בהם הפונקציה שרטט סקיצה של גרף הפונקציה קעורה כלפי מעלה והתחומים בהם קעורה כלפי מטה ג ד ה ו g( x) x 3 הגרפים של הפונקציות ובנקודה k 0, 5 f ( x) k x ו- ובין הישר O נפגשים בראשית הצירים O, S ואת השטח הכלוא בין ב- )f (x נסמן את השטח הכלוא בין הפונקציה S )ראה שרטוט( הפונקציה x) g( וישר O ב- S : S חשב את יחס השטחים g( x) מסובבים את השטח שכלוא בין הגרפים של ושל סביב ציר ה- x הבע באמצעות k f( x) את נפח גוף הסיבוב הנוצר בדרך זו y S S O x בהצלחה! - 06 -
פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ז מועד ב' 5 6 3 t 5 t m 4 S b 0 m m0 ג 5 a הוכחות 6 3 ' u v w, N u v tw ג ה ג 5 (,) (,) 8 8 l (l,05) 75 ( x 775) ( y 35) 6 3 7 (, 044) mi (, 44) max 8 8 (0,0) mi a, b0 (,7) (4,), הוכחה יפגשו ב- 7:77 (0,) (,0) (,0) 4 77 3 7 ג עליה x 8 8 7 3 x,0x ירידה 8 8 ד 5 5 x,0x ה כלפי מעלה x כלפי מטה 8 8 8 8 3 5 7 4 k 9 0 7 6 5 3 7-05 -
מבחן מחצית י'-תשס"ח-מועד א' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים משך המבחן: חלק א' - שעתיים הסתברות מותנית: נוסחת בייס ליחסים : ) / ) ) נוסחאות בהסתברות נוסחת בייס: / ) ) / ) ) R P ( ) R ) ) ) R ) ) ) פרק : שאלון 000 אלגברה וסדרות : עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות - נתונה המשוואה: ג עבור אילו ערכי m( x -) - x(x -3) - 0 m יש למשוואה הנתונה שני שורשים ממשיים שונים? מצא את פתרונות המשוואה והראה שאחד מהם אינו תלוי בערכו של עבור אילו ערכי m m פתרון המשוואה התלוי ב-, m גדול מהפתרון הקבוע שמצאת בסעיף ב'? 6 3 9 5 4 0 8 5 5 5 35 45 6 8 30 4 54 66 מספרים סודרו במשולש בצורה הבאה: בשורה הראשונה נמצא איבר אחד, בשנייה נמצאים שני איברים, בשלישית - שלושה וכו' בשורה ה- תי- - איברים השורות מהוות )החל מהשלישית( סדרות חשבוניות שים לב למבנה השורות )לאיבר הראשון, להפרש הסדרה, למספר איבריה( וכתוב נוסחה לאיבר האחרון בשורה ה- -ית חשב את סכום האיברים בשורה ה- -ית גיאומטריה והסתברות : עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות 3-0 9 משולש חסום במעגל חוצה הזווית חותך את המעגל בנקודה ואת הצלע בנקודה F מנקודה הורד אנך על הצלע החותך אותה בנקודה E E F - 0 - נתון כי: : 3:5
ג חוברת מבחני מחצית י' הוכח כי: נתון כי : 7 8 EF ס"מ 6,F ס"מ חשב את אורך הצלע F את חשב שטח משולש F )בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית( 0 שאלה בהסתברות קלאסית בקונדיטוריית "עוגתי" 75 מהעוגות מכילות קמח אם בוחרים באקראי עוגה מבין העוגות המכילות קמח, ההסתברות שהעוגה מכילה סוכר היא 5 7 כמו כן, ידוע של- 730 מהעוגות בקונדיטוריה זו ישנה לפחות אחת משתי התכונות: מכילה קמח, מכילה סוכר ג בוחרים עוגה באופן אקראי, מה ההסתברות שהעוגה מכילה סוכר? מבין העוגות המכילות סוכר בוחרים 7 עוגות מה ההסתברות שלפחות 0 עוגות לא יכילו קמח? ידוע כי אם בוחרים 7 עוגות המכילות סוכר, יש לפחות 0 עוגות שאינן מכילות קמח מה ההסתברות שכל העוגות אינן מכילות קמח? 7 שאלה בהסתברות בחיי היום יום בסקר שנערך בקרב חיילים בדקו את הטענה שיש קשר בין שירות קרבי לבין סוג מקום מגורים: ערים לעומת מושבים וקיבוצים בסקר התברר ש- 07% מבין הנבדקים הם מהמושבים והקיבוצים כמו כן, התברר שמבין החיילים מהמושבים והקיבוצים 57% משרתים בשירות קרבי, ופרופורציית החיילים מהערים שאינם עושים שירות קרבי הוא 70 נסמן: - קבוצת החיילים מהמושבים והקיבוצים - קבוצת החיילים המשרתים בשירות קרבי מהו אחוז החיילים המשרתים בשירות קרבי? הוכח שיש קשר סטטיסטי בין שירות קרבי לבין מקום המגורים ג אחרי פרסום הסקר עלתה הטענה, כי הסיבה לקשר היא שיותר חיילים מהמושבים והקיבוצים שבסקר עברו בתיכון קורס הכנה קרבית התבונן בטבלה שלפניך, השלם את הנתונים, ובדוק האם יש קשר סיבתי בין שירות קרבי לבין מקום המגורים נמק! - 03 -
שירות קרבי מושבים וקיבוצים 77 עברו קורס ערים מושבים וקיבוצים לא עברו קורס ערים 776 77 7 שירות שאינו קרבי פרק : שאלון 000 וקטורים, פונ' מעריכיות ולוגריתמיות ואנליטית : עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 0-8 בפירמידה משולשת )ראה ציור( הנקודה P נמצאת על הישר שעליו מונחת הצלע 6 u, v נסמן:, w P t 0, נתון: 60, u v w ג עבור איזה ערך של t, הזווית בין מהו מיקומה של הנקודה P ל- P ביחס לנקודות שווה לזווית בין P ל-?, בהסתמך על ה- t שמצאת בסעיף א' ובהינתן כי שטח המשולש P הוא 7 מצא את אורך x y נתונה הפונקציה : x a ( a ) השטח הכלוא בין גרף הפונקציה, הצירים והישר נסמן את נפח הגוף המתקבל בדרך זו ב- V השטח הכלוא בין גרף הפונקציה, הישר x log a, x log והישר a מסתובב סביב ציר ה- X, x log מסתובב סביב ציר 3a V ה- X נסמן את נפח הגוף המתקבל בדרך זו ב- מצא את a אם נתון כי V V פתור את המשוואה: הערה: אין קשר בין הסעיפים x 4 log x 3 x 5-77 -
, (,0) הנקודה O היא ראשית הצירים (a,0) שיעורי הנקודות הם: ו -, P נתון שהמקום הגיאומטרי של כל הנקודות, P שעבורן PO הוא חוצה הזווית הוא מעגל שמרכזו (3,0) מצא את a ואת רדיוס המעגל פרק 3: שאלון 000 משך המבחן: שעה ושלושת רבעי אינדוקציה ובעיית תנועה: עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 9-0 הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל טבעי מתקיים: 3 ( ) ( 3) ( 5) (4 3) 3 8 4 a 40 48 b a הסדרה מוגדרת לכל טבעי לפי: b ( ) ( 3) ( 5) (4 כאשר 3) כמה איברים חיוביים יש בסדרה? a נמק 7 שני אנשים יצאו בו זמנית זה לקראת זה האחד מ- והשני מ- הם נפגשו במרחק 67 מ' מ- והמשיכו בדרכם הראשון הגיע ל-, והשני הגיע ל- מיד עם הגיעם הסתובבו וחזרו לנקודת מוצאם בדרכם חזרה נפגשו שנית במרחק 7 מ' מ- חשב את המרחק מ- ל- אם ידוע כי מהירותם לא השתנתה במהלך הליכתם טריגונומטריה, דיפרנציאלי ואינטגרלי: עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות -3 P ( PM PN) במשולש שווה שוקיים PMN כך ש: PM את השוק חותך הישרN P P 4 היא נקודה על הגובה, P בנקודה N a MN, נתון כי: N ו- tg : tg חשב את היחס M N M את,, a ג הבע באמצעות חשב את היחס PM : M - 7 -
חוברת מבחני מחצית י' si x נתונה הפונקציה y בתחום x cos x מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים, נקודות הקיצון )אם ישנן( ואת האסימפטוטות האנכיות בתחום הנתון חשב את השטח המוגבל על ידי הפונקציה, הצירים והישר x 3 ( b 0) f ( x) b 3x x x 9 נתונה הפונקציה מעבירים משיק לפונקציה בנקודה x 9 הבע באמצעות b )אם יש צורך( את האסימפטוטות המקבילות לצירים ואת משוואת המשיק 4 משיק זה חותך את האסימפטוטה האנכית לציר ה- x בנקודה שבה שיעור ה- y הוא b מצא את ג מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ד הראה שהפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ה שרטט סקיצה של גרף הפונקציה בהצלחה!!! - 7 -
פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ח מועד א' לא עברו קורס מושבים ערים וקיבוצים 000 000 03 008 005 / ) 038 03 m m, m ג s 3 ג 090 m, a 3 הוכחה 0 03 4 )קלאסית( 004 004 ג 5 006 004 0 )יום יום( 04 הוכחה ג שירות קרבי עברו קורס מושבים וקיבוצים ערים 000 08 00 00 05 5 / ) 07 7 שירות שאינו קרבי c מסקנה : יש קשר סיבתי ביניהם מחוץ למשולש מהצד של ג ג 0/0 (0,0), אין נקודות קיצון אסימפטוטות אנכיות הן הגבולות אך לא בתחום x 4,0 b= ג x 4 45b 9 y ( x9) (3b9) b3 5 x=4, a 3 a si si( ), משיק: 0 t= 0 8 תשובה: a=-6 R=3, 9 הוכחה 0 00 0 מ' 000 חיתוך עם הצירים y 3, x b ד הוכחה 3-79 -
ה) חוברת מבחני מחצית י' מבחן מחצית י'- תשס"ח-מועד ב' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים משך המבחן : חלק א' - שעתיים נוסחאות בהסתברות : / ) / ) ) ) / ) ) ) הסתברות מותנית: נוסחת בייס: R P ( ) R R ) ) ) ) ) ) נוסחת בייס ליחסים : עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות - פרק : שאלון 000 x m x m m נתונה המשוואה : ) m באמצעות x פתור את המשוואה ( הבע את m עבור איזה ערך של אין פתרון למשוואה? m ג עבור איזה ערך של יש למשוואה אינסוף פתרונות? m ד עבור אילו ערכים של יהיה פתרון המשוואה מספר שגדול מן המספר ההפכי לו? a נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת שסכומה 0 יוצרים סדרה חדשה ע"י חיבור כל שני איברים סמוכים ) a ( a a ), ( a a ), ( a 3 3 4 הוכח כי הסדרה החדשה היא סדרה הנדסית שסכומה מתכנס מצא את האיבר הראשון והמנה של הסדרה החדשה אם נתון שסכומה הוא 9 a b ( ) a מגדירים סדרה חדשה ע"י הנוסחה: סדרה היא הסדרה המקורית הנתונה S - S a b מסעיף א'( מצא את ההפרש בין סכומי הסדרות: עליך לפתור שאלה אחת מתוך השאלות 3-0 O האלכסונים נחתכים בנקודה 9 בטרפז O הנקודה E על הבסיס E O O 3 נתון: EO ו- - 70 -
S Δ S Δ S Δ S ΔEO מצא את יחס השטחים מצא את יחס השטחים הסתברות קלאסית 0 במחצית מהדירות בבניין רב קומות, גרות משפחות עם 9 ילדים ב- 97% מהדירות גרות משפחות עם ילדים ובכל הדירות האחרות גרות משפחות עם ילד אחד ל- 67% מהמשפחות עם 9 ילדים יש מכונית ל- 7% מהמשפחות עם ילדים יש מכונית ל- 07% מהמשפחות עם ילד אחד יש מכונית ג בוחרים באקראי משפחה מה ההסתברות שלמשפחה יש מכונית? בוחרים משפחה שיש לה מכונית, מה ההסתברות שלמשפחה זו שני ילדים? בוחרים משפחה שאין לה רכב, מה ההסתברות שלמשפחה זו שני ילדים? הסתברות בחיי היום-יום לאחר מחקר ארוך ומעמיק על הרגלי התזונה של קופי השימפנזים, סיכם החוקר המהולל את מחקרו 7 בסיכום הבא: 57% מהשימפנזים מעדיפים פירות וירקות על פני בשר הזכרים שהעדיפו פירות וירקות היוו 957% מכלל הקבוצה שנחקרה פרופורצית הנקבות בקרב הקופים שהעדיפו בשר הייתה גדולה פי מפרופורצית המעדיפים בשר 9 בקרב הנקבות חבריו הטובים של החוקר הפנו אליך מספר שאלות )שלא היה נעים להם לשאול את החוקר המהולל( מה הייתה פרופורצית הנקבות בקבוצת הקופים? מה הייתה פרופורצית מעדיפי הפירות והירקות בקרב הנקבות? האם קיים קשר סטטיסטי בין מינו של הקוף לבין העדפתו בנושא המזון? מה משמעות הדבר? נמק ג בתשובה לשאלותיך הוסיף החוקר נתונים המתבססים על אוכלוסיית השימפנזים הצעירים בלבד : ד 3 מהזכרים צעירים ורק 3 ה מהנקבות צעירות גם בקרב הצעירים, 57% מעדיפים פירות וירקות פרופורציית הזכרים הצעירים המעדיפים בשר שווה לזו של הנקבות הצעירות החוקר טוען שלמרות הנתון האחרון, כאשר הוא מזהה שקוף צעיר אוכל בשר, קל לו יותר לנחש האם מדובר בזכר או בנקבה הסבר על מה מבסס החוקר את הטענה שלו אתה מתבונן בקוף מבוגר שאוכל בשר, מה ההסתברות שמדובר בנקבה? - 77 -
E v חוברת מבחני מחצית י' w F u עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 0-8 בתיבה פרק : שאלון 000 הנקודה F היא אמצע המקצוע ( a פרמטר( ו- t הנקודה E מקיימת E t a, a, a w, v, u w, v, u F E נתון: נסמן: הבע את ו- באמצעות חשב את t עבורו EF מינימלית f (x) 6 5 נתונה פונקציה שנגזרתה היא הפונקציה: Y g x x g( x) 3 3x 3x 5 x ערך הפונקציה (x) f בנקודת הפיתול שלה הוא מצא את הפונקציה (x) f X X g(x) מצא x), g( המשיק בנקודה x מעבירים משיק לפונקציה את השטח המוגבל בין הפונקציה וציר y y x + y = 5 הישר y5x חותך את המעגל x בנקודות ו- את הישר בנקודות אליפסה החסומה בתוך המעגל חותכת ו- )ראה ציור( מצא את משוואת האליפסה אם נתון היחס: - 76 -
פרק 3: שאלון 000 משך המבחן שעה ושלושת רבעי עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 9-0 נתונה הסדרה ההנדסית הבאה:, 4, 8, 6, 3,,a, 3 הוכח, באינדוקציה או בכל דרך אחרת, כי הביטוי a 3 8, הוא מספר שלם לכל האם הביטוי 3 3 3 מתחלק ב- 6 ללא שארית? הסבר תשובתך טבעי על שפת נהר הירקון ממוקמות שתי תחנות להשכרת סירות משוטים, התחנה המזרחית והתחנה המערבית זוג חברים שכר סירת משוטים בתחנה המזרחית וחתר לכיוון התחנה המערבית שעה מאוחר יותר, הבחין מנהל התחנה המזרחית, ששכח לתת קבלה לזוג, קפץ על סירת המנוע שלו ושט לכיוון הזוג מנהל התחנה השיג את הזוג, נתן להם את הקבלה וחזר חזרה לתחנה המזרחית הוא הגיע לתחנה בדיוק ברגע שהזוג הגיע לתחנה המערבית ידוע שמהירות סירת המנוע במים עומדים גדולה פי חמש ממהירות הזרם, ומהירות החותרים בסירת המשוטים במים עומדים שווה למהירות הזרם מצא את משך השיט של הזוג אם נתון שהירקון זורם ממזרח למער 7 עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 0- R O M מנקודה נתון כי הנקודה מעגל הוא קוטר המעגל O אורך רדיוס המעגל הוא R נמצאת על המשך מהצד של יוצא משיק למעגל המשיק בנקודה M משיק לישרים: הבע את רדיוס המעגל הבע את שטח המשולש ו- O, M R באמצעות )ראה ציור( ו- OM ו- R באמצעות - 75 -
חוברת מבחני מחצית י' H F G נתון מעגל שאורך הרדיוס שלו R בתוך המעגל משרטטים ריבוע וארבעה משולשים שווי שוקיים החופפים זה לזה )בסיסי המשולשים מונחים על צלעות הריבוע( הבע באמצעות מקסימלי R מצא את גודל הזווית את אורך צלע הריבוע בו סכום שטחי המשולשים H כאשר השטח מסעיף א' מקסימלי E 5 3 x x ( 0, y פרמטר ) ומצא: חקור את הפונקציה 5 x x את תחום ההגדרה של הפונקציה את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים את האסימפטוטות המקבילות לצירים 9 את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה 0 שרטט את גרף הפונקציה 7 ) ( ניתן להביע את התשובות באמצעות- 9 בהצלחה! - 7 -
פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ח מועד ב' m או m 0 ד m ג m 0 m 0,; x m 0 3 q 05,a 5 3 9 6 9 3 3 06 ג ג לא ד פרופורציית אוכלי הבשר בקרב הצעירים הזכרים גדולה פי 6 075 05 מפרופורציית אוכלי הבשר בקרב הנקבות הצעירות ה t 05 f ( x), E V tw F U V 05W 3 x x 3 R Tg (45 ) Tg (45 ), 4 Y, X אין קיצון )יש "חור" בנקודה אין 3 x 6l x 5 6l 0000 x, 3584 x 4 x y 5 975 מתחלק 3 4 0 0 0 8 9 0 שעתיים ורבע R Tg (45 ) r Tg (45 ) 90 R x 0,, 3 x a, a x 0 ירידה: x a, החשודה כקיצון( עליה: 0 x a - 73 -
מבחן מחצית י'-תשס"ט-מועד א' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים משך המבחן: חלק א' )פרקים ו- ( - שעתיים פרק : שאלון 000 אלגברה וסדרות : עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות - נתונה משפחה של פונקציות : הוכח כי קיימת נקודה על ציר ה- x שיעוריה m - - x m ( y = mx - פרמטר( 4 המשותפת לגרפים של כל הפונקציות במשפחה ורשום את עבור אילו ערכי m חותכים הגרפים את ציר ה- x בשתי נקודות שונות, הנמצאות בקטע 0, c ( a = a = c a +c - + נתונה סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה מס' קבוע( הוכח שהסדרה b המוגדרת על ידי b היא סדרה הנדסית = a+ - a הבע באמצעות a ו- c בלבד את,06,880 ושסכום שני האיברים האחרונים בסדרה גדול פי b ג נתון שסכום הסדרה הוא 59,049 מסכום שני האיברים הראשונים b מצא כמה איברים בסדרה 9 גיאומטריה )שאלת חובה( E P שני מעגלים נחתכים בנקודות, הוכח: EF P הוכח: EF PE F S ו- S S a, b, c a,, P ו- b, ג נתון: E c הבע את שטח משולש PEF באמצעות - 67 -
' 0 פרק : שאלון 000 וקטורים, פונ' מעריכיות ולוגריתמיות מרוכבים ואנליטית : עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 4-0 בתיבה '''' נסמן: ' X ' ', = v, = u v = w =, u = 3 נתון: ' = w X שהנקודה,כך X w v, u הבע באמצעות ו- את וקטור נמצאת על האלכסון ' עם הוקטורים ו-, והווקטור X יוצר זוויות שוות ג חשב את הזווית השווה )ללא קשר לסעיפים הקודמים( עבור אילו ערכים של הפרמטר מצא את הפתרון במקרה זה x x 4 4 3m m 0 פתרון יחיד? m יש למשוואה 7 על המעגל נסמן נקודה כלשהי מהנקודה נעביר מקביל לציר x + y = R מנקודה קטע באורך R יחידות בכיוון החיובי של ציר x ונקבל את הנקודה x על המקביל נקצה x, y) הוכח כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות (y x, המתקבלות בדרך זו הוא מעגל רשום את שיעורי מרכז המעגל ואת רדיוסו המקום הגיאומטרי של מרכזי כל המעגלים המשיקים למעגל שקיבלת בסעיף א' ולישר פרבולה קנונית הבע את x = -t R ואת משוואת הפרבולה באמצעות t הוא נתונה המשוואה: ג 0 z = ( z מספר מרוכב( הוכח שפתרונות המשוואה מהווים סדרה הנדסית הוכח כי סכום ריבועי שורשי המשוואה הוא 0 הארגומנט של אחד מפתרונות המשוואה מקיים : o o 0 < θ < 40 פתרון זה במישור של גאוס הינו קודקוד הראש של משולש שווה שוקיים החסום בתוך מעגל שמרכזו בראשית הצירים שזווית הראש שלו היא מצא את שני הקודקודים האחרים o 0 6-6 -
משך המבחן: חלק ב - שעה ושלושת רבעי מבחן מחצית י'-תשס"ט-מועד א' פרק 3: שאלון 000 אינדוקציה ובעיית תנועה: עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 0-8 נתונה המכפלה: 3 3 3 (- )(- )(- ) 5 8 בהנחה שהחוקיות נשמרת, מצא את תוצאת המכפלה עבור באינדוקציה עבור איברים והוכח תשובתך 6 6 6 6 חשב: ) - ( ) - )( - )( - ( 4 7 0 56 המרחק בין אשקלון לבאר שבע הוא 45 ק"מ שני רוכבי אופניים, בני ואבי, יצאו באותו זמן, בני יצא מבאר שבע לאשקלון ואבי מאשקלון לבאר שבע הם נפגשו כעבור שעה ו- 40 דקות למחרת, בני ואבי יצאו שוב מבאר שבע ואשקלון בהתאמה, אך אבי איחר בצאתו, כך שפגישתם אירעה במרחק 5 ק"מ מאשקלון, ולאחריה המשיך כל אחד לדרכו, כך שבני הקדים להגיע לאשקלון הפרש הזמנים שבהם הגיעו ליעדיהם לאחר הפגישה היה גדול ב- מהירותם לא השתנתה במשך שני הימים מצא את מהירויותיהם של הרוכבים כמה זמן נסע ביום השני כל אחד מהרוכבים עד פגישתם? 45 דק' מהפרש הזמנים של היציאה 5 טריגונומטריה, דיפרנציאלי ואינטגרלי: עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 9- היא נקודה על הצלע 3, נתון: = במשולש רדיוס המעגל החוסם את המשולש חשב את זוויות המשולש נסמן: שווה לרדיוס המעגל החוסם את המשולש a החסום במשולש נתון כי רדיוס המעגל החוסם את משולש גדול ב- מרדיוס המעגל הבע את רדיוס המעגל החסום במשולש באמצעות a חשב את a ואת אורכי צלעות המשולש )בתשובתך השאר שתי ספרות אחרי הנקודה( 3 Y X (0 < a < ), 4 g(x)= x(x - a) - 6 -, f(x)= 6 7 נתונות הפונקציות: x השטח המוגבל בין שתי הפונקציות מסתובב סביב ציר ה- X נסמן את נפח הגוף המתקבל בצורה זו ב- V השטח המוגבל בין הפונקציה g(x) לציר ה- X עם הציר( מסתובב סביב ציר ה- X )בין נקודות החיתוך שלה
נסמן את נפח הגוף המתקבל בצורה זו ב- נתון: V a 5 V מצא את +V = 355 π 9 a,b פרמטרים( ( f(x)= ax -b x נתונה הפונקציה נתון כי הישר המחבר בין הנקודה = 5 x, מקביל למשיק לפונקציה בנקודה ג ד מצא את ערכי מצא את: ), 5 -) שעל הפונקציה לבין נקודה על הפונקציה שבה 5 x = 8 a,b תחום ההגדרה של הפונקציה נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן 9 את האסימפטוטות המקבילות לצירים שרטט סקיצה של גרף הפונקציה נתונה הפונקציה: פונקציה f(x) g(x)= x איזו סקיצה מבין הסקיצות הבאות מתארת את גרף g(x)? נמק בחירתך! ) 9( )( )( - 69 -
פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ט מועד א' ) (05,0 m ;m הוכחה a c 3 ג m,4 x s( a b c ) ab 0 44 3 הוכחה הוכחה ג ג y 8X, t R or t 3R cis36,cis96,cis336 X u v w 3 3 4 0 ) R,0 ( רדיוס R 0 הוכחה הוכחה ג 4 6436 7 3 0 8 מאשקלון קמ"ש ומבאר שבע 5 קמ"ש מאשקלון 5 שעות ומבאר שבע שעתיים ( 8, )max,( 8, )max,(,0 )mi,(,0 )mi 4 4 a, 607, 49 ב x או x Y ד 3 ג 45,45,90 a,b 4 y 0 9 7 9 X - 60 -
מבחן מחצית י'-תשס"ט-מועד ב' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים משך המבחן: חלק א' )פרקים ו- ( - שעתיים פרק : שאלון 000 אלגברה וסדרות : עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות - נתונה המשוואה (k -)x -(k - k +)x+k -=0 עבור אלו ערכים של פרמטר k יהיו למשוואה שני שורשים הקטנים או שווים ל-? נתון כי למשוואה הנ''ל יש שורש יחיד מצא אותו נתון מספר תלת ספרתי, כך שספרותיו הן איברים של סדרה הנדסית אם נחסיר מהמספר הנתון 79, אזי נקבל מספר שרשום באותן הספרות רק בסדר הפוך אם מספרת המאות של המספר שרשום בסדר הפוך נחסיר 4 וכל שאר הספרות נשאיר כמו שהן, אזי נקבל מספר שספרותיו יוצרות סדרה חשבונית מצא את המספר הנתון נתבונן בסדרה הנדסית אינסופית שאיבריה הראשונים הם הספרות של המספר שמצאת בסעיף א' בהנחה שהחוקיות נמשכת, הוכח שהסדרה מתכנסת ומצא את סכומה ( ספרת המאות היא האיבר הראשון, ספרת העשרות האיבר השני וכן הלאה( 9 גיאומטריה )שאלת חובה( הוא קוטר במעגל שמרכזו היא נקודה כלשהי על המעגל R ורדיוסו O המשיק בנקודה חותך את המשיקים למעגל בנקודות ו- בנקודות ו- )א( הוכח כי בהתאמה O = 90 = R )ב( הוכח כי O )ג( חשב את שטח הטרפז כאשר נתון כי 60= O ו- R= - 67 -
פרק : שאלון 000 וקטורים, פונ' מעריכיות ולוגריתמיות מרוכבים ואנליטית : עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 4-0 4 נתון טטראדר נסמן = u, = v, = w נתון כי wv, w u F F = t המקיימת 3 G = + 8 נקודה על מקצוע G מקיימת F נקודה t,u,v,w הבע את FG באמצעות 0 נתון בנוסף כי = w 60, u = 8, v = 4, G 0 0 FG, FG 45 G ג מצא את האורך של ושל נתון בנוסף לסעיפים הקודמים כי חשב את הערך של t 7 מעגל שמרכזו ברביע הראשון, משיק לציר ה - x בנקודה (3,0) ומשיק לישר 3x - 4y+36 =0 )א( מצא את משוואת המעגל )ב( המעגל הנ''ל חסום במשולש שווה שוקיים בסיס המשולש שווה השוקיים מונח על ציר ה- x ואחת משוקיו מונחת על הישר השוק השנייה של המשולש 0= 36+4y 3x - מצא את משוואת הישר עליו מונחת log a - x - log a x+ log a=0 4 4 4 z ו- z a 6 נתונה המשוואה : עבור אילו ערכים של יהיו שורשי המשוואה מספרים מרוכבים? נסמן את שורשי המשוואה המרוכבים המתקבלים עבור 6=a טבעי מתקיים ב- הראה כי לכל מספר Z + Z = 8k 8k k בהצלחה! - 66 -
5 חוברת מבחני מחצית י' משך המבחן: חלק ב - שעה ושלושת רבעי מבחן מחצית י'-תשס"ט-מועד ב' פרק 3: שאלון 000 אינדוקציה ובעיית תנועה: עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות 0-8 הוכח באינדוקציה כי לכל מספר שלם )ללא קשר לסעיף א'( הסדרה 0 ולכל מספר ממשי x מתקיים: ( x ) x b מוגדרת על ידי נוסחת הנסיגה: b = 4 b = 3b - + מצא נוסחא b באמצעות בלבד והוכח אותה ל- הולך רגל ראשון יצא מעיר לעיר הולך הרגל הראשון עבר מחצית הדרך, לשני נותרו ללכת מחצית הדרך, להולך הראשון נשארו ללכת באותו הזמן יצא הולך רגל שני מעיר לעיר כאשר 4 ק''מ, וכאשר הולך הרגל השני עבר את 5 ק''מ כמה קילומטרים יישארו להולך הרגל השני כאשר ההולך הראשון יסיים את המסלול? טריגונומטריה, דיפרנציאלי ואינטגרלי: עליך לפתור שתי שאלות מתוך שאלות 9- K b נתון מעוין שצלעו וזוויתו החדה שקודקודה היא 3 K מנקודה K שעל המשך הצלע העבירו ישר החותך את צלע b L בנקודה, L כך ששטח הטרפז שווה ל- L b הבע את אורך הקטע K באמצעות ו- מה התנאי ל- כך שיהיה פתרון לבעיה? ו- b ג הבע את אורך הקטע באמצעות ו- b K ד הבע את יחס שטחי המשולשים ו- באמצעות - 65 -
-x+4 g(x)= x - 3x+ x - 0, f(x)= l x+ 7 )שייך ל- 775 ( נתונות הפונקציות a 4 a 3-8 חשב את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x) שווה בהנחה כי ) בנקודה a b l a+4 x x e e - dx= b l a- 38 33 מקיימת את המשוואה חשב את b ) x= b, x= a, ציר ה- x 9( מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה g(x) והישרים רמז : פירוק לשברים חלקיים, OP )שייך ל- 775 ( חשב את שטחו המקסימלי של מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים ואלכסונו ברביע הראשון, ( O ראשית הצירים( 3-7x 5 y = 343x e + x כאשר P היא נקודה על גרף הפונקציה כמה נקודות פיתול יש לפונקציה המתארת את שטח המלבן? בהצלחה! - 6 -
פתרונות סופיים למחצית י' תשס"ט מועד ב' k 0 x k x k 0,k 93 35 t 05 G 75, 48 4 3 3 3 הוכחה הוכחה ג ג 3 y x 3 4 si si 3 FG ( t )u ( t )w v 8 8 bsi ( x 3 ) ( y 5 ) 5 הוכחה b 3 6 a 8 4 0 0 0 הוכחה ג ד 8 ק"מ bsi si 0457 9 3 6 3 8 9 7-63 -